Réel, imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers $n\in \mathbb{N}$ tels que :

1. le nombre $(1+i{)}^n$ soit un imaginaire pur ;

2. le nombre $(-2i{)}^n$  soit un imaginaire pur de partie imaginaire négative ;

3. le nombre $(\sqrt{3}-i{)}^n$ soit un réel positif ;

4. le nombre $(1+i\sqrt{3}{)}^n$ soit un imaginaire pur de partie imaginaire négative.

Solution

1. On a : $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$   et donc
$\begin{array}{rl}1+i& =\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{+1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}{\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}.\end{array}$
Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,
$\begin{array}{rl}(1+i{)}^n\in i\mathbb{R}& ⟺\arg ((1+i{)}^n)\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]\\ & ⟺n\arg (1+i)\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]\\ & ⟺\frac{n\pi }{4}\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]\\ & ⟺n\equiv 2[4]\end{array}$
donc $(1+i{)}^n$  est un imaginaire pur si et seulement si, $n=2+4k$ avec $k\in \mathbb{N}$ .

2. On a $-2i=-2{\text{e}}^{\frac{i\pi }{2}}=2{\text{e}}^{i\pi +\frac{i\pi }{2}}=2{\text{e}}^{\frac{3i\pi }{2}}$ ,  donc pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,
$\begin{array}{rl}(-2i{)}^n\in i\mathbb{R}\text{ et }\text{I}\text{m}((-2i{)}^n)⩽0& ⟺\arg ((-2i{)}^n)\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{2}}[2\pi ]\\ & ⟺n\arg (-2i)\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{2}}[2\pi ]\\ & ⟺{\displaystyle \frac{3n\pi }{2}}\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{2}}[2\pi ]\\ & ⟺3n\equiv -1[4]\\ & ⟺3n\equiv 3\left[4\right]\\ & ⟺n\equiv 1\left[{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]\end{array}$
Or, pour $k^{\prime }\in \mathbb{N}$ ,  $1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{k}^{\prime }\in \mathbb{N}⟺k^{\prime }=3k$  avec  $k\in \mathbb{N}$ .
Finalement, $(-2i{)}^n$  est un imaginaire pur de partie imaginaire négative si, et seulement si, $n=4k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$ .

3. On a : $|\sqrt{3}-i|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$   et donc
$\begin{array}{rl}\sqrt{3}-i& =2(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)=2(\cos \frac{-\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})=2{\text{e}}^{-\frac{i\pi }{6}}.\end{array}$
Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,
$\begin{array}{rl}(\sqrt{3}-i{)}^n\in \mathbb{R}\text{ et }\text{R}\text{e}((\sqrt{3}-i{)}^n)⩾0& ⟺\arg ((\sqrt{3}-i{)}^n)\equiv 0[2\pi ]\\ & ⟺n\arg (\sqrt{3}-i)\equiv 0[2\pi ]\\ & ⟺\frac{-n\pi }{6}\equiv 0[2\pi ]\\ & ⟺n\equiv 0[12]\end{array}$
En conclusion, le nombre $(\sqrt{3}-i{)}^n$ est réel de partie réelle positive si, et seulement si, $n=12k$ avec $k\in \mathbb{N}$ .
4. On a : $|1+i\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$  et donc  $\begin{array}{rl}1+i\sqrt{3}& =2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})=2{\text{e}}^{\frac{i\pi }{3}}.\end{array}$
Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , 
$\begin{array}{rl}(1+i\sqrt{3}{)}^n\in i\mathbb{R}\text{ et }\mathrm{\Im }((1+i\sqrt{3}{)}^n)⩽0& ⟺\text{a}\text{r}\text{g}((1+i\sqrt{3}{)}^n)\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]\\ & ⟺n\arg (1+i\sqrt{3})\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]\\ & ⟺\frac{n\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]\\ & ⟺n\equiv -\frac{3}{2}[6]\end{array}$
ce qui est impossible, car $n\in \mathbb{N}$ .
En conclusion, le nombre $(1+i\sqrt{3}{)}^n$ n'est jamais un imaginaire pur de partie imaginaire négative, quelle que soit la valeur de $n\in \mathbb{N}$ .